Происхождение графа Сумарокова-Эльстона полно загадок и неотвеченных вопросов. Эльстон был внебрачным сыном высокопоставленного лица. Свою фамилию, которую носила его кормилица-англичанка, Феликс Николаевич получил особым императорским указом. О том, кто именно его родители, в светском обществе не было единого мнения. Преобладала лишь точка зрения, что Эльстон — племянник императрицы и, соответственно, двоюродный брат Александра II.

В 1825 году юный Феликс был перевезен из Европы в Россию и воспитывался в семье матери графини Екатерины Тизенгаузен.

1 февраля 1836 года Феликс Эльстон поступил фейерверкером в артиллерийское училище, по выходе из которого в 1840 году был произведен в прапорщики. В артиллерийской академии получил высшее образование. В 1842 году был переведен в лейб-гвардии конную артиллерию. Служба его продолжалась до 1849 года частью во фронте, частью — в штабе генерал-фельдцейхмейстера великого князя Михаила Павловича.

В 1849 году в чине капитана был назначен адъютантом к военному министру графу Чернышеву, особые поручения которого

он всегда выполнял.

В 1854 году были открыты военные действия в Азиатской Турции, и Эльстона отправили на Кавказ. Там он временно командовал батальоном Брестского пехотного полка, в составе Гурийского отряда. Также Феликс Эльстон участвовал в боевых действиях в кавказско-турецкой границе. Во время осады Севастополя принимал участие в его обороне и по окончании компании был произведен в полковники. В 1855 году был удостоен звания флигель-адъютанта.

В 1856 году Эльстон, по именному Высочайшему указу, присоединил к своей фамилии фамилию и титул тестя С.П. Сумарокова, не имевшего сыновей. С тех пор Феликсу Николаевичу был присвоен титул «граф».

В 1857 году Сумароков-Эльстон был назначен вице-директором канцелярии военного министерства, но через год его снова перевели на Кавказ. Там он командовал сначала Апшеронским пехотным, а затем Грузинским гренадерским полком. За отличие в делах против горцев в 1860 году произведен в генерал-майоры с назначением в свиту Его Величества.

В 1861 году исполнял обязанности помощника начальника Кавказской гренадерской дивизии, а в 1863 году был назначен на

должность наказного атамана Кубанского казачьего войска.

С этого времени, Феликс Николаевич принимал активное и результативное участие в покорении западного Кавказа. Его военная деятельность совпала со временем, когда Шамиль был взят в плен, а Кавказ окончательно покорен. За боевые отличия Сумарокова наградили орденами и произвели в чин генерал-лейтенанта.

В 1865 году Феликс Николаевич был назначен начальником Кубанской области и командующим войсками, которые были там расположены. После 1866 года, когда Сумарокова пожаловали в генерал-адъютанты он временно оставил службу по причине слабого здоровья. Проживал за границей, но продолжал участвовать в светских мероприятиях, таких как — открытие в Норвегии памятника покойному шведскому королю Оскару I и др. Также Сумароков-Эльстон ездил в Вену с дипломатическими поручениями.

В 1875 году Феликса Сумарокова-Эльстона назначили командующим войсками Харьковского военного округа. Но в 1877 году его не стало.

Сумароков-Эльстон был женат на графине Елене Сергеевне Сумароковой, дочери генерал-адъютанта и председательницей Екатеринодарского женского благотворительного общества. У них было семеро детей.